极限是微积分的核心基础，用于描述函数在某一点附近的行为趋势。以下是关键知识点：

1. 极限的定义

  • 当 $ x $ 接近 $ a $ 时，若 $ f(x) $ 接近某个固定值 $ L $，则称： $$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$
  • 例如：$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $（图像趋近）
函数图像趋近

2. 应用场景

  • 导数计算：极限是求导数的数学工具
  • 积分理论：定积分基于极限思想
  • 无穷级数：判断级数收敛性依赖极限分析
    🧠 想更深入理解？可查看 /math/calculus/limits/properties 探讨极限的性质

3. 重要定理

  • 沙发定理（夹逼定理）
  • 法则（洛必达法则）
  • 连续性判定：若 $ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $，则函数在 $ a $ 处连续
    📘 拓展学习：极限的严格定义 与 极限计算实例

4. 常见误区

  • 误将无限趋近等同于等于
  • 忽视单侧极限的差异
  • 过度依赖直观图形，忽略代数分析
    🔍 图解：极限与连续性关系 有可视化对比