微积分极限的定义

微积分是数学的一个重要分支，其中极限的概念是理解微积分基础的关键。下面我们将介绍极限的基本定义。

极限的定义

在数学中，极限用来描述当自变量趋近于某个值时，函数值如何趋近于某个特定的值。以下是一个极限的正式定义：

定义：设函数 ( f(x) ) 在点 ( a ) 的去心邻域内有定义，如果存在一个常数 ( L )，使得对于任意给定的正数 ( \epsilon )，总存在一个正数 ( \delta )，使得当 ( 0 < |x - a| < \delta ) 时，都有 ( |f(x) - L| < \epsilon )，则称 ( L ) 为函数 ( f(x) ) 当 ( x ) 趋近于 ( a ) 时的极限。

例子

例如，考虑函数 ( f(x) = x^2 )。我们来求 ( x ) 趋近于 0 时，( f(x) ) 的极限。

当 ( x ) 趋近于 0 时，( f(x) = x^2 ) 也趋近于 0。
根据极限的定义，我们需要证明对于任意给定的 ( \epsilon )，存在一个 ( \delta )，使得当 ( 0 < |x - 0| < \delta ) 时，都有 ( |x^2 - 0| < \epsilon )。

为了证明这一点，我们可以选择 ( \delta = \sqrt{\epsilon} )。这样，当 ( 0 < |x| < \delta ) 时，我们有 ( |x^2| = |x|^2 < (\sqrt{\epsilon})^2 = \epsilon )。

因此，( x ) 趋近于 0 时，( f(x) = x^2 ) 的极限是 0。

扩展阅读

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