梯度下降是一种常用的优化算法，用于寻找函数的最小值。在机器学习中，梯度下降被广泛应用于模型训练过程中，以调整模型参数。

基本原理

梯度下降算法的核心思想是沿着函数梯度的反方向进行迭代，逐步逼近函数的最小值。具体来说，梯度下降算法的迭代公式如下：

θ = θ - α * ∇f(θ)

其中，θ 表示当前参数的值，α 表示学习率，∇f(θ) 表示函数在 θ 处的梯度。

学习率

学习率是梯度下降算法中的一个重要参数，它决定了参数更新的步长。学习率过大可能导致参数更新过快，从而错过最小值；学习率过小可能导致参数更新过慢，从而陷入局部最优。

梯度下降的变体

  1. 随机梯度下降（SGD）：在每次迭代中，使用不同的数据样本计算梯度，从而加快收敛速度。
  2. 批量梯度下降：在每次迭代中使用所有数据样本计算梯度，但计算量较大。
  3. 小批量梯度下降：在每次迭代中使用部分数据样本计算梯度，平衡了计算量和收敛速度。

实践示例

以下是一个使用 Python 实现的简单梯度下降算法示例：

def gradient_descent(x, y, theta, alpha, iterations):
    m = len(x)
    for i in range(iterations):
        predictions = x * theta
        errors = predictions - y
        gradient = (1/m) * (x.T * errors)
        theta = theta - alpha * gradient
    return theta

# 示例数据
x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [2, 4, 5, 4, 5]
theta = [0, 0]
alpha = 0.01
iterations = 1000

# 计算结果
theta = gradient_descent(x, y, theta, alpha, iterations)
print(theta)

扩展阅读

更多关于梯度下降算法的细节和变体，您可以参考以下链接：

图片展示

梯度下降算法示意图

Gradient Descent Schema