数论函数是数学中研究整数性质的重要工具。在数论中，许多著名的函数都扮演着关键角色，例如欧拉函数、莫比乌斯反演等。
欧拉函数
欧拉函数，记作 $\varphi(n)$，表示小于等于 $n$ 的正整数中，与 $n$ 互质的数的个数。例如，$\varphi(6) = 2$，因为 1 和 5 与 6 互质。
欧拉函数的性质
- $\varphi(n) \geq 1$ 对于所有的 $n$ 都成立。
- $\varphi(n) \leq n$ 对于所有的 $n$ 都成立。
- $\varphi(n)$ 是一个整数。
莫比乌斯反演
莫比乌斯反演是数论中的一个重要工具，它可以将求和问题转化为乘积问题，或者反之。
莫比乌斯反演的性质
- 如果 $f(n)$ 和 $g(n)$ 满足 $f(n) = \sum_{d|n} g(d)$，则 $g(n) = \sum_{d|n} \mu(d) f\left(\frac{n}{d}\right)$，其中 $\mu(d)$ 是莫比乌斯函数。
- 如果 $f(n)$ 和 $g(n)$ 满足 $f(n) = \prod_{p|n} g(p)$，则 $g(n) = \prod_{p|n} \mu(p) f\left(\frac{n}{p}\right)$。
学习资源
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