二项式定理是组合数学中的一个重要定理，它描述了二项式表达式的展开形式。在数学中，二项式定理广泛应用于概率论、统计学、代数等领域。
定义
二项式定理可以表示为：
[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k ]
其中，( \binom{n}{k} ) 表示组合数，也称为二项式系数，计算公式为：
[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]
展开示例
以 ( (x + y)^3 ) 为例，根据二项式定理展开如下：
[ (x + y)^3 = \binom{3}{0} x^3 y^0 + \binom{3}{1} x^2 y^1 + \binom{3}{2} x^1 y^2 + \binom{3}{3} x^0 y^3 ]
[ = 1 \cdot x^3 \cdot 1 + 3 \cdot x^2 \cdot y + 3 \cdot x \cdot y^2 + 1 \cdot 1 \cdot y^3 ]
[ = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 ]
应用
二项式定理在许多领域都有广泛的应用，以下是一些例子：
- 概率论：在计算概率时，二项式定理可以用来计算在一系列独立试验中成功次数的概率。
- 统计学：在统计学中，二项式分布可以用来描述成功次数的概率分布。
- 代数：在代数中，二项式定理可以用来简化表达式和解决方程。
扩展阅读
想要了解更多关于二项式定理的信息，可以阅读以下教程：
二项式定理公式