二项式定理是组合数学中的一个重要定理，它描述了二项式展开的规律。下面将详细介绍二项式定理的相关内容。
定义
二项式定理可以表示为： [ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k ] 其中，( \binom{n}{k} ) 表示组合数，也称为“n 取 k”的排列组合数。
展开公式
二项式定理的展开公式如下： [ (a + b)^n = \binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \ldots + \binom{n}{n-1} a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n} a^0 b^n ]
应用
二项式定理在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。例如，它可以用来计算概率、求解积分、进行近似计算等。
示例
假设我们要计算 ( (2x + 3)^4 ) 的展开式，根据二项式定理，我们有： [ (2x + 3)^4 = \binom{4}{0} (2x)^4 (3)^0 + \binom{4}{1} (2x)^3 (3)^1 + \binom{4}{2} (2x)^2 (3)^2 + \binom{4}{3} (2x)^1 (3)^3 + \binom{4}{4} (2x)^0 (3)^4 ]
计算上述各项，我们得到： [ (2x + 3)^4 = 1 \cdot 16x^4 \cdot 1 + 4 \cdot 8x^3 \cdot 3 + 6 \cdot 4x^2 \cdot 9 + 4 \cdot 2x \cdot 27 + 1 \cdot 1 \cdot 81 ] [ = 16x^4 + 96x^3 + 216x^2 + 216x + 81 ]
扩展阅读
想了解更多关于二项式定理的内容，可以阅读以下教程：