概率密度函数（PDF）是描述连续型随机变量在某一特定取值处的密度的函数，其核心特性是：

  • 🔢 概率解释：PDF在某点的值表示该点附近单位区间内事件发生的可能性
  • 📈 积分性质：PDF在区间上的积分等于该区间内事件发生的概率
  • 🧮 数学定义：若 $ X $ 是连续随机变量，则 $ f(x) $ 满足 $ P(a < X < b) = \int_{a}^{b} f(x) dx $

常见分布示例

  1. 正态分布 (Normal Distribution)

    正态分布
    - 特征：钟形曲线，对称于均值 - 公式：$ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $

  2. 均匀分布 (Uniform Distribution)

    均匀分布
    - 特征：区间内概率密度恒定 - 公式：$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{if } a \leq x \leq b \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $

  3. 指数分布 (Exponential Distribution)

    指数分布
    - 特征：常用于描述事件发生的时间间隔 - 公式：$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $（$ x \geq 0 $）

应用场景

  • 📊 数据建模：如身高、考试分数等连续数据的分布分析
  • 🧪 科学实验：测量误差、物理现象的随机性研究
  • 📐 金融风控：资产收益率的概率分布模拟

扩展学习

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