群论是代数学的一个重要分支，主要研究群的结构和性质。以下是一些群论的基础概念和定理。
基础概念
群：一个集合 ( G )，以及一个二元运算 ( \cdot )（通常表示为乘法），使得 ( G ) 对 ( \cdot ) 运算封闭，且满足以下四个条件：
- 结合律：对于任意 ( a, b, c \in G )，有 ( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) )。
- 单位元：存在一个元素 ( e \in G )，使得对于任意 ( a \in G )，有 ( e \cdot a = a \cdot e = a )。
- 逆元：对于任意 ( a \in G )，存在一个元素 ( a^{-1} \in G )，使得 ( a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e )。
- 交换律：对于任意 ( a, b \in G )，有 ( a \cdot b = b \cdot a )。
子群：如果 ( H ) 是 ( G ) 的一个非空子集，并且 ( H ) 在 ( G ) 的运算下也是一个群，则称 ( H ) 是 ( G ) 的子群。
同构：两个群 ( G ) 和 ( H ) 之间存在一个双射 ( \phi: G \rightarrow H )，使得对于任意 ( a, b \in G )，有 ( \phi(a \cdot b) = \phi(a) \cdot \phi(b) )。
定理
拉格朗日定理：如果 ( G ) 是一个有限群，且 ( H ) 是 ( G ) 的子群，那么 ( |H| ) 必须整除 ( |G| )。
同构定理：如果 ( G ) 和 ( H ) 是两个群，且 ( \phi: G \rightarrow H ) 是一个同构，那么 ( G ) 和 ( H ) 是同构的当且仅当它们具有相同的阶和相同的性质。
扩展阅读
更多关于群论的内容，您可以阅读我们的群论高级教程。
Group Theory