群论是现代数学的一个重要分支，它研究具有特定性质的代数结构。本教程旨在为对群论有兴趣的读者提供一个高级别的学习资源。
群论基础知识
群论的基础包括群的定义、性质以及子群、正规子群、群同态和同构等概念。
- 群的定义：一个群是一个集合 ( G )，其中包含一个二元运算 ( \cdot )，满足以下条件：
- 结合律：对于 ( G ) 中的任意元素 ( a, b, c )，都有 ( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) )。
- 单位元：存在一个元素 ( e \in G )，使得对于 ( G ) 中的任意元素 ( a )，都有 ( e \cdot a = a \cdot e = a )。
- 逆元：对于 ( G ) 中的任意元素 ( a )，存在一个元素 ( a^{-1} \in G )，使得 ( a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e )。
群的子结构
- 子群：一个非空子集 ( H ) 如果本身也是一个群，则称为 ( G ) 的子群。
- 正规子群：如果 ( H ) 是 ( G ) 的子群，并且对于 ( G ) 中的任意元素 ( g )，都有 ( gHg^{-1} = H )，则 ( H ) 是 ( G ) 的正规子群。
群同态和同构
- 群同态：两个群 ( G ) 和 ( H ) 之间的一个函数 ( f: G \rightarrow H ) 被称为群同态，如果对于 ( G ) 中的任意元素 ( a, b )，都有 ( f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b) )。
- 同构：如果两个群 ( G ) 和 ( H ) 之间存在一个双射的群同态，则称 ( G ) 和 ( H ) 是同构的。
扩展阅读
如果你对群论有更深入的兴趣，可以阅读以下资源：
图片展示
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