共轭梯度法是一种用于求解大型稀疏线性方程组的优化算法，常用于机器学习中的优化问题。它是一种迭代算法，可以有效地减少计算量，提高计算效率。
基本原理
共轭梯度法的基本思想是沿着搜索方向进行迭代，每次迭代都会找到一个与之前搜索方向正交的搜索方向，从而减少每次迭代的步长。
算法步骤
- 初始化：选择一个初始点 ( x_0 ) 和初始搜索方向 ( p_0 = -r_0 )，其中 ( r_0 ) 是方程组的残差向量。
- 迭代：
- 计算搜索方向 ( p_k = -\alpha_k r_k )，其中 ( \alpha_k ) 是步长。
- 更新解 ( x_{k+1} = x_k + \alpha_k p_k )。
- 更新残差 ( r_{k+1} = r_k - \alpha_k A p_k )。
- 如果 ( ||r_{k+1}|| ) 小于预设的阈值，则停止迭代。
- 否则，计算新的搜索方向 ( p_{k+1} = -r_{k+1} - \beta_k p_k )，其中 ( \beta_k ) 是共轭系数。
- 输出解 ( x )。
应用场景
共轭梯度法在机器学习中的优化问题中有着广泛的应用，例如：
- 最小二乘法
- 逻辑回归
- 线性回归
扩展阅读
想要了解更多关于共轭梯度法的信息，可以参考以下链接：
Conjugate Gradient Method