1. 条件概率与贝叶斯定理
条件概率是概率论的核心概念之一，表示在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。公式为： $$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$
贝叶斯定理通过先验概率和似然函数计算后验概率： $$ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} $$
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2. 随机变量与概率分布
- 离散型随机变量：如掷骰子结果（🎲）
- 连续型随机变量：如正态分布曲线（📊）
常见分布包括：
- 二项分布 🟢
- 正态分布 📈
- 指数分布 ⏳
- 泊松分布 🐧
3. 期望与方差
期望值（E[X]）是随机变量的长期平均值，方差（Var(X)）衡量其波动性： $$ E[X] = \sum x_i P(x_i) $$ $$ Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 $$
4. 大数定律与中心极限定理
- 大数定律：独立重复试验中，样本均值会趋近于期望值（📉）
- 中心极限定理：样本均值分布趋近于正态分布（🧮）
5. 高级应用
- 随机过程（如马尔可夫链）🌀
- 概率图模型（如隐马尔可夫模型）🧩
- 极值理论（极端事件分析）⚡
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