核心概念

导数是微积分的核心工具之一，用于描述函数在某一点的瞬时变化率。其数学定义为：

f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) - f(x)] / h

🧠 直观理解：想象一辆汽车的速度表，导数就是瞬时速度的数学表达。

几何意义

导数_几何意义
导数代表曲线在某一点的切线斜率。例如： - 函数 `y = x²` 在 `x=3` 处的导数为 `6`，意味着该点切线斜率为6 - 图像中红色曲线的斜率变化可通过导数直观观察

应用场景

  • 物理学：速度是位移的导数，加速度是速度的导数
  • 经济学：边际成本是总成本的导数
  • 工程学：优化设计中的极值问题
  • 机器学习：梯度下降算法依赖导数计算

学习建议

  1. 先掌握极限的基础知识（点击查看相关课程）
  2. 通过图像法理解导数与函数的关系
  3. 实践导数计算：尝试对常见函数求导（如三角函数、指数函数）
  4. 拓展阅读：导数在微分方程中的应用

常见问题

❓ 如何计算复合函数的导数？
答：使用链式法则（Chain Rule），例如： 

d/dx [sin(x²)] = cos(x²) * 2x

❓ 导数与微分有什么区别？
答：导数是微分的商，微分表示函数的线性近似部分

扩展练习

📊 尝试绘制以下函数的导数图像：

  1. f(x) = 3x³ - 2x² + 5x
  2. g(x) = e^x * cos(x)
  3. h(x) = ln(x² + 1)

提示：使用导数计算工具辅助验证结果