动态规划是一种算法设计技术，它通过将复杂问题分解为更小的子问题来解决这些子问题，并存储这些子问题的解以避免重复计算。以下是一些动态规划基础概念的介绍。
什么是动态规划？
动态规划是一种将问题分解为更小的子问题，并通过保存子问题的解来避免重复计算的方法。它通常用于解决优化问题，如背包问题、最长公共子序列等。
动态规划的特点
- 最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解。
- 子问题重叠：不同子问题可能会出现相同的计算结果。
- 无后效性：一旦某个给定子问题的解被确定，它就不会被改变。
动态规划的基本步骤
- 定义子问题：将原问题分解为更小的子问题。
- 状态表示：定义一个状态表示子问题的解。
- 状态转移方程：确定状态转移方程，即如何从子问题的解推导出原问题的解。
- 边界条件：确定递归的基本情况或循环的终止条件。
- 计算顺序：确定计算子问题的顺序。
动态规划的实例：最长公共子序列
最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）问题是动态规划的一个经典例子。假设有两个序列 A 和 B，我们需要找到这两个序列的最长公共子序列。
- 状态表示：
dp[i][j]表示 A 的前 i 个字符和 B 的前 j 个字符的最长公共子序列的长度。 - 状态转移方程：
- 如果
A[i-1] == B[j-1]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 - 否则，
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
- 如果
- 边界条件：
dp[0][j] = 0和dp[i][0] = 0
扩展阅读
想要了解更多关于动态规划的知识，可以阅读本站的 《动态规划进阶》。