🚀 1. 矩阵分解进阶
- LU分解：将矩阵分解为下三角矩阵（L）和上三角矩阵（U），适用于数值计算优化
- QR分解：通过正交矩阵（Q）和上三角矩阵（R）实现，常用于最小二乘问题求解
- 奇异值分解（SVD）：分解为UΣV*，是数据分析与推荐系统的核心工具
🧠 2. 特征值与特征向量
- 特征值（λ）与特征向量（v）满足方程 Av = λv
- 计算方法：幂迭代法、QR算法、雅可比方法
- 应用场景：
- 稳定性分析（如微分方程）
- 主成分分析（PCA）
- 图论中的PageRank算法
📐 3. 线性变换与几何应用
- 标准基变换：坐标系旋转与缩放
- 特殊变换类型：
- 正交变换（保持向量长度）
- 相似变换（保持矩阵特征值）
- 仿射变换（平移+线性变换）
- 几何解释：通过变换矩阵理解空间映射
🌐 拓展阅读：线性代数在计算机图形学中的应用
🧮 4. 数值计算方法
- 迭代法求解线性方程组（如雅可比迭代）
- 矩阵求逆的优化算法（LU分解 vs. 增广矩阵）
- 特征值计算的QR算法实现
- 精度控制：条件数分析与病态矩阵处理
📚 相关知识：数值分析基础概念
🧩 5. 实际案例分析
- 推荐系统中的协同过滤矩阵
- 图像压缩的奇异值分解应用
- 量子计算中的态矢量变换
- 算法优化：通过矩阵运算提升计算效率
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