线性回归是一种用于预测连续值的统计方法。在本文中，我们将探讨线性回归的数学原理。

线性回归模型

线性回归模型可以表示为：

$$ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + ... + \beta_n x_n + \epsilon $$

其中，$y$ 是因变量，$x_1, x_2, ..., x_n$ 是自变量，$\beta_0, \beta_1, ..., \beta_n$ 是回归系数，$\epsilon$ 是误差项。

普通最小二乘法

普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS）是估计线性回归模型参数的一种常用方法。其目标是找到一组参数，使得所有观测值与回归线的残差平方和最小。

残差分析

残差分析是评估线性回归模型拟合效果的重要手段。残差是指观测值与回归预测值之间的差异。理想情况下，残差应服从正态分布，且具有恒定的方差。

线性回归实例

以下是一个线性回归的实例，展示了如何使用 Python 的 scikit-learn 库来拟合线性回归模型。

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error

# 创建样本数据
X = [[1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]]
y = [2, 3, 4, 5]

# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=0)

# 创建线性回归模型
model = LinearRegression()

# 训练模型
model.fit(X_train, y_train)

# 预测测试集结果
y_pred = model.predict(X_test)

# 计算均方误差
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)

print("均方误差：", mse)

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图片展示

线性回归模型中的特征重要性：

feature_importance_linear_regression

线性回归模型的可视化：

linear_regression_visualization