动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划通常用于解决最优化问题，比如求最大值或最小值。
动态规划的基本思想
- 最优子结构：将原问题分解为若干个规模较小的相同子问题。
- 子问题重叠：在求解过程中，子问题被重复计算多次。
- 最优子结构重叠：通过保存子问题的解，避免重复计算。
动态规划的应用
动态规划广泛应用于算法设计，以下是一些常见的应用场景：
- 背包问题：给定一组物品和它们的重量及价值，求解如何选择一个总重量不超过背包重量的物品组合，使得这些物品的总价值最大。
- 最长公共子序列：给定两个序列，找出这两个序列的最长公共子序列。
- 最长递增子序列：给定一个序列，找出这个序列的最长递增子序列。
动态规划优化
动态规划虽然可以解决很多问题，但在某些情况下，直接使用动态规划会导致算法效率低下。以下是一些常见的优化方法：
- 状态压缩：将状态空间进行压缩，减少状态的数量。
- 边界优化：优化状态转移方程中的边界条件。
- 滚动数组：使用滚动数组来优化空间复杂度。
扩展阅读
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动态规划图解