线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间、线性映射、特征值和特征向量等概念。以下是线性代数的一些基本概念：
向量空间
向量空间，也称为线性空间，是由向量组成的集合，并满足以下条件：
- 加法封闭性：对于任意两个向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$，它们的和 $\vec{u} + \vec{v}$ 仍然属于这个向量空间。
- 标量乘法封闭性：对于任意一个向量 $\vec{u}$ 和任意一个标量 $a$，标量乘积 $a\vec{u}$ 仍然属于这个向量空间。
- 加法交换律：$\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$。
- 加法结合律：$(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$。
- 存在零向量：存在一个零向量 $\vec{0}$，使得对于任意向量 $\vec{u}$，都有 $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$。
- 存在负向量：对于任意向量 $\vec{u}$，存在一个向量 $-\vec{u}$，使得 $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$。
- 标量乘法的分配律：$a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$。
- 标量乘法的结合律：$(ab)\vec{u} = a(b\vec{u})$。
线性映射
线性映射，也称为线性变换，是一种将向量空间映射到另一个向量空间的函数。它满足以下条件：
- 加法保持性：对于任意两个向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$，有 $T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v})$。
- 标量乘法保持性：对于任意向量 $\vec{u}$ 和任意标量 $a$，有 $T(a\vec{u}) = aT(\vec{u})$。
特征值和特征向量
特征值和特征向量是线性映射的一个重要概念。对于线性映射 $T$ 和非零向量 $\vec{v}$，如果存在标量 $\lambda$，使得 $T(\vec{v}) = \lambda\vec{v}$，则称 $\lambda$ 为 $T$ 的一个特征值，$\vec{v}$ 为 $T$ 的一个特征向量。
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