数论是数学中最古老且充满魅力的分支之一，研究对象为整数的性质与规律。从毕达哥拉斯到现代数学家，数论始终是数学发展的核心动力之一。以下是数论的几个关键领域：
基本概念
- 质数（Prime Number）：仅能被1和自身整除的自然数，例如 2, 3, 5, 7…
- 因数分解：将合数表示为质数的乘积，如 12 = 2×2×3
- 同余：研究整数在模运算下的等价关系，是密码学的基础
重要定理
- 费马小定理（Fermat's Little Theorem）：若 $ p $ 为质数，且 $ a $ 与 $ p $ 互质，则 $ a^{p-1} \equiv 1 \mod p $
- 哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）：任一大于2的偶数均可表示为两个质数之和（尚未被证明）
- 欧拉公式（Euler's Formula）：$ e^{i\pi} + 1 = 0 $，虽非数论专属，但其背后的数学思想密不可分
应用领域
- 密码学：RSA算法依赖质数的特性
- 计算机科学：算法复杂度分析与数论密切相关
- 数学竞赛：数论是奥赛和数学建模的核心考点
扩展阅读
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