SVD（奇异值分解）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，广泛应用于数据压缩、推荐系统、图像处理等领域。以下是核心知识点：
1. 基本概念
- SVD将矩阵 $ A \in \mathbb{R}^{m \times n} $ 分解为三个矩阵的乘积：
$$
A = U \Sigma V^T
$$
- $ U $：左奇异向量矩阵（$ m \times m $）
- $ \Sigma $：对角矩阵（$ m \times n $），对角线元素为奇异值（按降序排列）
- $ V $：右奇异向量矩阵（$ n \times n $）
- 📌 关键特性：奇异值始终为非负实数，且 $ U $ 和 $ V $ 的列向量是正交的
2. 分解步骤
- 计算 $ A^T A $ 的特征值和特征向量
- 从 $ A^T A $ 的特征向量中提取 $ V $ 的列向量
- 计算 $ A A^T $ 的特征向量，构成 $ U $ 的列向量
- 将奇异值按大小排序，填充到 $ \Sigma $ 中
3. 应用场景
- ✅ 图像压缩：通过保留前 $ k $ 个奇异值减少存储空间
- ✅ 推荐系统：降维用户-物品评分矩阵，挖掘潜在关联
- ✅ 噪声过滤：舍弃小奇异值，去除数据中的噪声
4. 延伸学习
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📝 提示：实际应用中，通常使用截断SVD（只保留前 $ k $ 个奇异值）来平衡效果与效率
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