张量微积分是描述多维空间中微分与积分运算的数学工具，广泛应用于物理、工程和机器学习领域。以下是核心知识点概览：
1. 基础概念
- 张量定义：推广标量（0阶张量）、向量（1阶张量）和矩阵（2阶张量）的数学对象
- 阶数与维度
- 0阶：标量（如温度）
- 1阶：向量（如力）
- 2阶：矩阵（如应力张量）
- n阶：多维数组
- 协变与逆变：描述张量在坐标变换下的行为特性
2. 核心运算
| 运算类型 | 示例 | 说明 |
|---|---|---|
| 张量收缩 | $ \sum_{i} T_{ii} $ | 将两个指标相加求和 |
| 外积 | $ \mathbf{a} \otimes \mathbf{b} $ | 生成更高阶张量 |
| 基本微分 | $ \nabla_i T^{jk} $ | 坐标系中的导数运算 |
| 协变导数 | $ \nabla_\mu T^{\nu} $ | 考虑度规影响的导数 |
3. 应用领域
- 📐 经典力学：描述应力-应变关系
- 🧪 量子场论：处理场的微分方程
- 🤖 深度学习：卷积神经网络中的参数更新
- 🌍 广义相对论：爱因斯坦场方程的核心