什么是极限？
极限是微积分的基石，用于描述函数在某一点附近的行为趋势。例如：
- 当 $x \to 0$ 时，$\frac{\sin x}{x}$ 的极限为 1
- 数列 $a_n = \frac{1}{n}$ 的极限为 0
学习极限的意义
- 函数连续性：极限帮助我们判断函数是否在某点连续
- 导数定义：导数本质是函数在某点的极限变化率
- 积分基础：积分可视为无限小矩形面积的极限和
典型例子解析
例1：多项式极限
$$ \lim_{x \to 2} (3x^2 + 2x - 1) = 3(2)^2 + 2(2) - 1 = 15 $$
例2：分段函数
$$ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{当 } x < 1 \ 2x & \text{当 } x \geq 1 \end{cases} $$ $$ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1 $$
进阶学习建议
- 点击这里查看极限的性质详解
- 推荐练习：计算 $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{x^2 - 5}$ 的极限值
- 观看视频：极限的直观理解