线性回归数学基础

线性回归是机器学习中一个基础且重要的算法，它用于预测连续值。本教程将介绍线性回归的数学基础。

1. 线性回归模型

线性回归模型的基本形式可以表示为：

$$ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + ... + \beta_n x_n + \epsilon $$

其中，$y$ 是预测值，$x_1, x_2, ..., x_n$ 是自变量，$\beta_0, \beta_1, ..., \beta_n$ 是回归系数，$\epsilon$ 是误差项。

最小二乘法是求解线性回归参数的一种常用方法。它通过最小化误差的平方和来找到最佳的回归系数。

$$ \sum_{i=1}^{n} (y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_{1i} + ... + \beta_n x_{ni}))^2 $$

梯度下降法是一种优化算法，用于找到最小化损失函数的参数。在线性回归中，我们可以使用梯度下降法来求解回归系数。

$$ \beta_j := \beta_j - \alpha \frac{\partial}{\partial \beta_j} \sum_{i=1}^{n} (y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_{1i} + ... + \beta_n x_{ni}))^2 $$

其中，$\alpha$ 是学习率。

假设我们有一个简单的线性回归问题，其中我们想要预测房价。我们有两个自变量：房屋面积和房屋年代。

$$ y = \beta_0 + \beta_1 \text{面积} + \beta_2 \text{年代} + \epsilon $$

我们可以使用最小二乘法或梯度下降法来求解回归系数。

想要了解更多关于线性回归的内容，可以阅读本站的线性回归进阶教程。