线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量、矩阵以及它们的运算。以下是一些线性代数的基础概念和定义。
向量
向量是具有大小和方向的量。在二维空间中，向量可以表示为一个有序对 (x, y)，在三维空间中可以表示为一个有序三元组 (x, y, z)。
- 向量表示：( \vec{v} = (x, y, z) )
- 向量加法：( \vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y, u_z + v_z) )
- 向量减法：( \vec{u} - \vec{v} = (u_x - v_x, u_y - v_y, u_z - v_z) )
矩阵
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列。矩阵的行和列分别称为行向量列向量。
- 矩阵表示：( A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} )
矩阵运算
- 矩阵乘法：如果矩阵 ( A ) 的列数等于矩阵 ( B ) 的行数，则矩阵 ( A ) 与矩阵 ( B ) 可以相乘，结果矩阵的元素由 ( A ) 的行和 ( B ) 的列对应元素的乘积和求和得到。
- 矩阵转置：矩阵 ( A ) 的转置矩阵 ( A^T ) 将 ( A ) 的行变为列。
图像示例
线性代数在图像处理中的应用非常广泛，例如图像变换和图像压缩。