向量微积分是数学中一个重要的分支，它研究向量场及其在几何和物理中的应用。以下是一些基本的向量微积分概念：

  • 梯度：表示一个函数在某一点处变化最快的方向和速率。
  • 散度：描述一个向量场在某一点处向外的流出或向内的流入情况。
  • 旋度：描述一个向量场在某一点处旋转的情况。

例子

假设有一个函数 ( f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 )，我们可以计算其梯度、散度和旋度。

  • 梯度 ( \nabla f )： [ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) = (2x, 2y, 2z) ]

  • 散度 ( \nabla \cdot f )： [ \nabla \cdot f = \frac{\partial}{\partial x}(2x) + \frac{\partial}{\partial y}(2y) + \frac{\partial}{\partial z}(2z) = 6 ]

  • 旋度 ( \nabla \times f )： [ \nabla \times f = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ 2x & 2y & 2z \end{array} \right| = 0 ]

拓展阅读

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Vector Calculus