在数学社区中，多变量函数是高等数学中的重要内容。以下是一些常见的多变量函数习题及其解析：
常见习题
偏导数计算
- 已知函数 ( f(x, y) = x^2y + 3xy^2 )，求 ( f_x ) 和 ( f_y ) 在点 ( (1, 2) ) 的值。
解析：首先计算偏导数 ( f_x ) 和 ( f_y )： [ f_x = 2xy + 3y^2, \quad f_y = x^2 + 6xy ] 将 ( x = 1 ) 和 ( y = 2 ) 代入上式，得到： [ f_x(1, 2) = 2 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 = 2 + 12 = 14 ] [ f_y(1, 2) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 12 = 13 ]
全微分
- 已知函数 ( g(x, y) = e^{x+y} )，求 ( g ) 在点 ( (0, 0) ) 的全微分。
解析：全微分 ( \mathrm{d}g ) 为： [ \mathrm{d}g = \frac{\partial g}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial g}{\partial y} \mathrm{d}y ] 计算偏导数： [ \frac{\partial g}{\partial x} = e^{x+y}, \quad \frac{\partial g}{\partial y} = e^{x+y} ] 将 ( x = 0 ) 和 ( y = 0 ) 代入，得到： [ \mathrm{d}g = e^0 \mathrm{d}x + e^0 \mathrm{d}y = \mathrm{d}x + \mathrm{d}y ]
扩展阅读
想了解更多关于多变量函数的内容，可以阅读多变量函数的详细教程。