📌 极限的核心定义

在微积分中，极限描述了函数值随自变量趋近某一点时的变化趋势。用符号表示为：
$$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$
这表示当 $x$ 接近 $a$ 时，$f(x)$ 的值无限趋近于 $L$。

例如：
$$ \lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7 $$

极限符号

📊 极限的直观理解

  1. 数值逼近法
    通过代入接近目标值的数值观察函数值变化，如计算 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ 时，可尝试 $x=0.1, 0.01, 0.001$ 等。

  2. 图像分析法
    观察函数图像在某一点附近的走势，例如：

    函数图像
    上图展示了 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x \to 0^+$ 时的趋向性。

  3. 几何意义
    极限是研究曲线在某一点处切线斜率（导数）的基础工具。

⚠️ 常见误区提醒

  • 极限不存在的情况：
    • 左极限与右极限不相等（如 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处）
    • 函数值无限震荡（如 $f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ 在 $x \to 0$ 时）
    • 函数趋向无穷大（如 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 在 $x \to 0$ 时）

📘 扩展学习建议

  1. 深入理解极限的精确定义
  2. 极限计算技巧与例题解析
  3. 极限在连续性中的应用

🧠 经典例题解析

例题：求 $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{x^2 - 5}$
解法：

  1. 分子分母同除以 $x^2$
  2. 得到 $\frac{2 + 3/x}{1 - 5/x^2}$
  3. 当 $x \to \infty$ 时，$\frac{3}{x} \to 0$，最终结果为 $2$
极限计算步骤