多项式运算在代数中占有重要地位，它包括多项式的加法、减法、乘法和除法等。下面我们将详细介绍这些基本的多项式运算。

多项式加法与减法

多项式的加法与减法类似于算术中的加法与减法，只是操作的对象是多项式。

加法

  1. 将两个多项式按照相同的次数排列。
  2. 对应次数的项相加。

例如，计算 $(2x^2 + 3x + 1) + (4x^2 - 2x + 5)$。

首先，按照次数排列： $$ \begin{align*} 2x^2 + 3x + 1 \

  • 4x^2 - 2x + 5 \ \end{align*} $$

然后对应次数的项相加： $$ 6x^2 + x + 6 $$

减法

  1. 将被减数和减数按照相同的次数排列。
  2. 对应次数的项相减。

例如，计算 $(2x^2 + 3x + 1) - (4x^2 - 2x + 5)$。

首先，按照次数排列： $$ \begin{align*} 2x^2 + 3x + 1 \

  • (4x^2 - 2x + 5) \ \end{align*} $$

然后对应次数的项相减： $$ -2x^2 + 5x - 4 $$

多项式乘法

多项式乘法是代数中的基础运算，它包括单项式与多项式的乘法，以及多项式与多项式的乘法。

单项式与多项式的乘法

  1. 将单项式的每一项与多项式的每一项相乘。
  2. 将相乘的结果相加。

例如，计算 $3x(2x^2 + 5x + 2)$。

首先，将 $3x$ 与多项式的每一项相乘： $$ \begin{align*} 3x \cdot 2x^2 &= 6x^3 \ 3x \cdot 5x &= 15x^2 \ 3x \cdot 2 &= 6x \ \end{align*} $$

然后，将相乘的结果相加： $$ 6x^3 + 15x^2 + 6x $$

多项式与多项式的乘法

  1. 将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘。
  2. 将相乘的结果相加。

例如，计算 $(2x^2 + 3x + 1)(4x^2 - 2x + 5)$。

首先，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘： $$ \begin{align*} 2x^2 \cdot 4x^2 &= 8x^4 \ 2x^2 \cdot -2x &= -4x^3 \ 2x^2 \cdot 5 &= 10x^2 \ 3x \cdot 4x^2 &= 12x^3 \ 3x \cdot -2x &= -6x^2 \ 3x \cdot 5 &= 15x \ 1 \cdot 4x^2 &= 4x^2 \ 1 \cdot -2x &= -2x \ 1 \cdot 5 &= 5 \ \end{align*} $$

然后，将相乘的结果相加： $$ 8x^4 - 4x^3 + 10x^2 + 12x^3 - 6x^2 + 15x + 4x^2 - 2x + 5 $$

化简后得到： $$ 8x^4 + 8x^3 + 8x^2 + 13x + 5 $$

多项式除法

多项式除法是将一个多项式除以另一个多项式的运算。在多项式除法中，我们通常使用长除法。

例如，计算 $\frac{3x^3 - 4x^2 + x - 1}{x - 1}$。

首先，将除数 $x - 1$ 与被除数 $3x^3 - 4x^2 + x - 1$ 进行除法运算。

$$ \begin{array}{c|ccccc} \multicolumn{2}{r}{3x^2} & +1x & +1 \ \cline{2-6} x - 1 & 3x^3 & -4x^2 & +x & -1 \ \multicolumn{2}{r}{-3x^3} & +3x^2 & & & \ \cline{2-3} \multicolumn{2}{r}{0} & -x^2 & +x & -1 \ \multicolumn{2}{r}{} & +x^2 & -x & & \ \cline{3-4} \multicolumn{2}{r}{} & 0 & 0 & -1 & \ \end{array} $$

因此，$\frac{3x^3 - 4x^2 + x - 1}{x - 1} = 3x^2 + x + 1$。

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多项式运算图解