探索数学的奥秘，以下是一些高级数学谜题，挑战你的思维：
鸡兔同笼问题：一个笼子里有鸡和兔，从上面数共有 $n$ 个头，从下面数共有 $m$ 条腿。请问笼子里各有多少只鸡和兔？
数列求和：给定一个数列 $a_1, a_2, a_3, \ldots$，求前 $n$ 项的和 $S_n$。
排列组合：从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的排列数和组合数分别是多少？
概率问题：抛掷一枚公正的硬币 $n$ 次，求至少出现一次正面的概率。
微积分问题：求函数 $f(x) = x^2$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分。
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数学难题