什么是常微分方程？

常微分方程（ODE）是包含自变量、因变量以及因变量导数的方程。例如：
dy/dx = 2x
它描述了函数的变化率与自变量之间的关系，广泛应用于物理、工程、生物等领域。

常微分方程

核心概念速览 🧠

  • 阶数：由最高阶导数决定，如 y'' + y = 0 是二阶方程
  • 线性 vs 非线性：线性方程的解可叠加，非线性则需特殊技巧
  • 初值问题：需指定初始条件（如 y(0) = 1）才能唯一确定解
  • 解析解 vs 数值解：部分方程可通过积分求解，复杂问题需用数值方法

常见解法指南 📚

  1. 变量分离法
    将方程改写为 f(y) dy = g(x) dx 后积分，例如： 

    📌 例子：`dy/dx = y/x`  
解：`x dy = y dx` → `dy/y = dx/x` → `ln|y| = ln|x| + C`

  2. 积分因子法
    用于解一阶线性方程 dy/dx + P(x)y = Q(x)，公式： 

    μ(x) = e^{∫P(x)dx}

  3. 特征方程法
    对于线性常系数齐次方程，如 y'' - 5y' + 6y = 0，求解特征方程 r² -5r +6=0 得到根，进而写出通解。

积分因子法

应用场景举例 🌐

  • 物理：描述弹簧振子运动 d²x/dt² + ω²x = 0
  • 生物：种群增长模型 dP/dt = kP
  • 经济学：资本增长方程 dK/dt = rK

扩展学习建议 🔄

微分方程应用