特征值与特征向量练习题 📌

基本概念复习

特征值（Eigenvalue）和特征向量（Eigenvector）是线性代数中的核心概念，常用于描述矩阵在特定方向上的缩放行为。

• 定义：若存在非零向量 v 和标量 λ，使得 $ A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $，则 λ 为矩阵 A 的特征值，v 为对应特征向量
• 计算方法：通过求解特征方程 $ \det(A - \lambda I) = 0 $ 得到特征值，再代入求解向量
• 应用场景：主成分分析（PCA）、量子力学、系统稳定性分析等

练习题

1. 计算矩阵
   $$ A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{bmatrix} $$
   的特征值与特征向量。

   

2. 解释意义
   举例说明特征值在描述数据压缩中的作用（如PCA降维）。

   

3. 进阶挑战
   研究对称矩阵的特征值性质，并尝试推导其特征向量的正交性。

   

扩展学习

如需深入理解特征值的数学推导，可参考本站教程：
/learn/tutorials/eigenvalues

✅ 完成练习后，可尝试通过 /learn/exercises/eigenvectors 验证对特征向量的掌握程度！