线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间、线性变换以及相关的概念。以下是线性代数中一些核心概念：
向量空间
向量空间是一组向量的集合，这些向量满足以下条件：
- 封闭性：对于向量空间中的任意两个向量 ( \vec{u} ) 和 ( \vec{v} )，它们的和 ( \vec{u} + \vec{v} ) 也在向量空间中。
- 封闭性：对于向量空间中的任意向量 ( \vec{u} ) 和任意标量 ( c )，它们的乘积 ( c\vec{u} ) 也在向量空间中。
例如，二维向量空间 ( \mathbb{R}^2 ) 包含所有形式为 ( (x, y) ) 的向量。
线性变换
线性变换是一种将向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的函数。线性变换满足以下条件：
- 加法保持：对于向量空间中的任意两个向量 ( \vec{u} ) 和 ( \vec{v} )，以及任意标量 ( c )，有 ( T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v}) ) 和 ( T(c\vec{u}) = cT(\vec{u}) )。
例如，二维空间中的线性变换可以是 ( T(\vec{u}) = A\vec{u} )，其中 ( A ) 是一个 ( 2 \times 2 ) 的矩阵。
矩阵
矩阵是线性代数中的一个重要工具，用于表示线性变换和向量空间。一个 ( m \times n ) 的矩阵 ( A ) 可以表示为：
[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} ]
矩阵可以用于进行线性变换、求解线性方程组等。
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想要了解更多关于线性代数的知识，可以访问我们的 线性代数教程 页面。
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中心对称矩阵的示例：