特征值和特征向量是线性代数中的基本概念，它们在许多数学和工程领域都有着广泛的应用。以下是关于特征值与特征向量的简要介绍。
定义
特征值：设 (A) 是一个 (n \times n) 的方阵，(\lambda) 是一个标量，如果存在非零向量 (x)，使得 (Ax = \lambda x)，则称 (\lambda) 为 (A) 的一个特征值，(x) 为对应的特征向量。
特征向量：与特征值对应的非零向量。
性质
- 唯一性：每个特征值对应多个特征向量，但特征向量不是唯一的，因为可以乘以任意非零常数。
- 线性组合：特征向量可以构成特征空间，即所有特征向量的线性组合。
应用
- 图像处理：在图像处理中，特征值和特征向量可以用于图像的压缩和降噪。
- 信号处理：在信号处理中，特征值和特征向量可以用于信号的去噪和压缩。
- 物理：在物理学中，特征值和特征向量可以用于描述粒子的能量状态。
示例
假设我们有以下矩阵 (A)：
[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{bmatrix} ]
我们可以通过求解特征方程 (det(A - \lambda I) = 0) 来找到特征值。解得 (\lambda_1 = 3) 和 (\lambda_2 = 1)。
接下来，我们可以通过求解 (A - \lambda I) 的逆矩阵与 (x) 的乘积等于零，来找到对应的特征向量。
对于 (\lambda_1 = 3)，我们有：
[ (A - 3I)x = \begin{bmatrix} -1 & 1 \ 1 & -1 \end{bmatrix}x = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix} ]
解得 (x_1 = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix})。
对于 (\lambda_2 = 1)，我们有：
[ (A - 1I)x = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}x = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix} ]
解得 (x_2 = \begin{bmatrix} -1 \ 1 \end{bmatrix})。
扩展阅读
更多关于特征值和特征向量的内容，您可以访问我们的 线性代数教程。
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