优化算法是机器学习中的一个核心概念，它涉及到如何找到函数的最优解。以下是一些常见的优化算法及其数学解析。

梯度下降法

梯度下降法是一种最简单的优化算法，它通过迭代更新参数以最小化损失函数。

  • 目标函数：( J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 )
  • 梯度：( \nabla J(\theta) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) \cdot x^{(i)} )
  • 更新公式：( \theta = \theta - \alpha \nabla J(\theta) )

随机梯度下降法

随机梯度下降法（SGD）是梯度下降法的一个变种，它使用随机样本来计算梯度。

  • 目标函数：与梯度下降法相同
  • 梯度：使用随机样本计算
  • 更新公式：与梯度下降法相同

牛顿法

牛顿法是一种更高级的优化算法，它使用二阶导数来加速收敛。

  • 目标函数：( J(\theta) )
  • 梯度：( \nabla J(\theta) )
  • Hessian矩阵：( H(\theta) )
  • 更新公式：( \theta = \theta - \alpha H^{-1} \nabla J(\theta) )

图片示例

梯度下降法示意图

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