什么是极限？
极限是微积分的核心概念之一，用于描述函数在某一点附近的行为趋势。例如，当 $ x \to a $ 时，$ f(x) $ 的极限是 $ L $，表示 $ f(x) $ 可以无限接近 $ L $ 但永不等于 $ L $。
极限的数学定义
- 形式化定义：
$$ \lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ 使得 } 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon $$ - 直观理解：
函数值随自变量趋近于某点时的“最终状态”
极限的基本性质
- 唯一性：若极限存在，则必唯一
- 保号性：若 $ \lim f(x) = L > 0 $，则存在邻域使 $ f(x) > 0 $
- 无穷极限：当 $ x \to a $ 时，$ f(x) $ 可能趋于 $ +\infty $ 或 $ -\infty $
应用场景
- 导数定义：
$$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$ - 级数收敛性：判断无穷级数的和是否存在
- 物理中的瞬时变化率：如速度、加速度的计算
扩展阅读
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