微积分是数学的一个重要分支，它主要研究的是函数的极限、导数、积分等概念。下面是一些基础概念和例子。

极限

极限是微积分中的基本概念之一。它描述了当自变量趋近于某个值时，函数的值如何趋近于另一个值。

  • 定义：设函数 ( f(x) ) 在 ( x = a ) 的去心邻域内定义，如果当 ( x ) 趋近于 ( a ) 时，( f(x) ) 的值趋近于某个常数 ( L )，则称 ( L ) 为 ( f(x) ) 当 ( x ) 趋近于 ( a ) 时的极限。

  • 例子：求 ( \lim_{{x \to 2}} (x^2 - 4) )。

    解：( \lim_{{x \to 2}} (x^2 - 4) = 2^2 - 4 = 0 )。

导数

导数描述了函数在某一点的瞬时变化率。

  • 定义：设函数 ( f(x) ) 在 ( x = a ) 的邻域内可导，如果 ( f'(a) ) 存在，则称 ( f(x) ) 在 ( x = a ) 处可导。

  • 例子：求 ( f(x) = x^2 ) 在 ( x = 1 ) 处的导数。

    解：( f'(x) = 2x )，所以 ( f'(1) = 2 )。

积分

积分是微积分的另一重要概念，它描述了函数在某个区间上的累积量。

  • 定义：设函数 ( f(x) ) 在区间 ([a, b]) 上连续，则 ( f(x) ) 在 ([a, b]) 上的积分定义为：

    [ \int_{a}^{b} f(x) , dx = \lim_{{n \to \infty}} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x ]

    其中，( x_i^* ) 是区间 ([a, b]) 上的任意一点，( \Delta x ) 是区间的长度。

  • 例子：求 ( \int_0^1 x^2 , dx )。

    解：( \int_0^1 x^2 , dx = \frac{1}{3} )。

学习资源

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