GAN（生成对抗网络）是一种通过博弈论框架训练生成模型的算法，核心思想是让生成器与判别器相互对抗，最终达到生成高质量数据的目的。以下是其数学原理的关键点：

1. 核心公式

  • 生成器目标：最小化判别器对生成样本的识别能力
    $$ \min_G \mathbb{E}{x \sim p{data}} \left[ \log D(x) \right] + \mathbb{E}_{z \sim p_z} \left[ \log (1 - D(G(z))) \right] $$
  • 判别器目标：最大化对真实/生成样本的区分能力
    $$ \max_D \mathbb{E}{x \sim p{data}} \left[ \log D(x) \right] + \mathbb{E}_{z \sim p_z} \left[ \log (1 - D(G(z))) \right] $$
  • 纳什均衡：两者的最优解形成稳定状态，即生成器能生成与真实数据分布相似的样本，判别器无法区分二者。

2. 关键数学概念

  • 概率分布对齐：生成器需使 $ p_g $（生成分布）逼近 $ p_{data} $（真实分布）
  • 反向传播：通过梯度下降优化生成器和判别器的参数
  • 损失函数：通常使用交叉熵损失（Cross-Entropy Loss）衡量区分能力

3. 训练流程图

GAN_Training_Process

4. 扩展阅读

5. 应用实例

  • 生成对抗网络可生成逼真的图像（如人脸、风景），其数学基础是实现高维数据建模的关键
Generated_Image_Examples

GAN的数学本质是博弈论与优化算法的结合，通过不断迭代，最终实现数据生成与判别间的动态平衡。🌟