矩阵分解是推荐系统中广泛应用的算法，通过将用户-物品评分矩阵分解为低维隐向量矩阵，挖掘潜在特征以实现更精准的预测。其核心思想可类比为「将复杂的评分关系简化为隐藏的用户偏好与物品属性」，常用于协同过滤场景。
📘 基本概念
- 目标：从高维评分矩阵 $ R \in \mathbb{R}^{m \times n} $ 中提取用户隐向量 $ P \in \mathbb{R}^{m \times k} $ 和物品隐向量 $ Q \in \mathbb{R}^{n \times k} $
- 数学表达：$ R \approx P \times Q^T $
- 关键优势：降维处理、捕捉用户与物品的潜在关联
🧠 应用场景
- 推荐系统：预测用户对未评分物品的偏好
- 自然语言处理：隐语义模型（如Word2Vec）
- 图像处理：降噪与特征提取
📌 实现步骤
- 初始化用户矩阵 $ P $ 和物品矩阵 $ Q $ 的随机值
- 使用梯度下降等优化算法迭代更新参数
- 计算预测评分 $ \hat{R} = P \times Q^T $
- 通过均方误差（MSE）评估并调整模型