梯度下降是机器学习中优化模型参数的核心算法，常用于最小化损失函数。以下是基础概念与Python实现示例：

🧮 数学原理

  1. 目标：找到函数 $f(x)$ 的最小值
  2. 公式：
    $$ x_{n+1} = x_n - \alpha \cdot \nabla f(x_n) $$
    其中 $\alpha$ 为学习率，$\nabla f(x_n)$ 为梯度
  3. 可视化：
梯度下降_示意图

🧪 Python 示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义损失函数
def cost_function(x):
    return x**2 + 5*x + 6

# 梯度下降实现
def gradient_descent(iterations=100, learning_rate=0.1):
    x = 0.0
    history = [x]
    for _ in range(iterations):
        grad = 2*x + 5
        x = x - learning_rate * grad
        history.append(x)
    return history

# 可视化结果
history = gradient_descent()
plt.plot(history)
plt.title("梯度下降迭代过程")
plt.xlabel("迭代次数")
plt.ylabel("参数值")
plt.grid()
plt.show()

📚 应用场景

  • 线性回归模型训练
  • 神经网络权重更新
  • 无约束优化问题

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📌 关键点

  • 学习率 $\alpha$ 过大可能导致震荡，过小则收敛慢
  • 可以通过动量法或Adam优化器改进收敛速度
  • 损失函数的形状会影响算法效果
损失函数_曲线