主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种经典的无监督学习降维算法，通过线性变换将高维数据投影到低维空间，保留最大方差方向的信息。其核心目标是简化数据结构，同时减少冗余。
核心概念 📌
- 降维：压缩数据维度，降低计算复杂度
- 方差最大化：寻找数据投影后方差最大的方向
- 正交基：主成分之间相互独立（协方差为0）
- 重构性：可逆向恢复原始数据（部分信息损失）
数学原理 🧮
- 标准化数据
$$ x_{std} = \frac{x - \mu}{\sigma} $$ （其中 $\mu$ 为均值，$\sigma$ 为标准差） - 协方差矩阵计算
$$ \text{Cov}(X) = \frac{1}{n-1} X^T X $$ - 特征值分解
$$ \text{Cov}(X) \cdot v = \lambda \cdot v $$ （特征值 $\lambda$ 表示方差，特征向量 $v$ 为投影方向） - 选择主成分
按特征值从大到小排序，取前 $k$ 个特征向量组成投影矩阵
应用场景 📈
- 数据可视化：将高维数据映射到2D/3D空间
- 特征提取：去除冗余特征（如图像处理中的像素降维）
- 预处理：作为后续模型（如SVM、神经网络）的输入优化
- 噪声过滤：保留主要信息，去除高维噪声
扩展阅读 🔍
如需深入理解PCA的实际应用案例，可参考：
/Technology_Tutorials/Machine_Learning/Tutorials/PCA_Application