线性代数基础

线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间、线性变换以及相关的概念。以下是线性代数基础的一些关键概念：

• 向量空间：向量空间是一组向量的集合，这些向量满足加法和数乘的封闭性，以及一些其他公理。
• 线性变换：线性变换是一个将向量空间映射到另一个向量空间的函数，它保持向量的加法和数乘运算。
• 行列式：行列式是一个数值，可以用来判断矩阵的某些性质，如可逆性。
• 矩阵：矩阵是一个由数字组成的矩形数组，线性代数中的许多问题都可以通过矩阵来解决。

基本概念

向量

向量是线性代数中的基本概念，它可以用一个箭头表示，例如：$\vec{v}$。

• 向量加法：两个向量相加，就是将它们的坐标分别相加。
• 向量数乘：一个向量乘以一个标量，就是将向量的每个坐标乘以这个标量。

矩阵

矩阵是线性代数中的另一个基本概念，它可以用一个方框表示，例如：$A$。

• 矩阵乘法：两个矩阵相乘，就是将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行对应元素的乘法和加法。
• 矩阵的逆：如果矩阵 $A$ 是可逆的，那么它的逆矩阵 $A^{-1}$ 满足 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$，其中 $I$ 是单位矩阵。

实例

假设我们有两个向量 $\vec{v} = (1, 2)$ 和 $\vec{w} = (3, 4)$，以及一个矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$。

我们可以计算向量 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 的和： $$ \vec{v} + \vec{w} = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6) $$

然后我们可以计算向量 $\vec{v}$ 和矩阵 $A$ 的乘积： $$ A \vec{v} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \ 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \ 11 \end{bmatrix} $$

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